اعداد گویا

اعداد گویا

به طور کلی به هر عددی که بتوانیم آن را به شکل کسر نمایش دهیم، عددی گویا می گوییم. صورت و مخرج اعداد گویا می توانند هر عدد صحیحی باشد البته می دانیم که مخرج هیچگاه صفر نباید باشد چون تقسیم بر صفر بی معنی است. عدد های گویا را با Q نشان می دهند و تعریف ریاضی آنها به شکل زیر است:

تمام اعداد طبیعی، حسابی، اعداد کسری، اعشاری و مخلوط عضو مجموعه گویا می باشند.

سوال: آیا عددی هست که عضو مجموعه گویا نباشند؟

پاسخ: بله اعداد رادیکالی که از زیر رادیکال خارج نمی شود یعنی مجذور کامل ندارد.

اعداد گویا دو گروه هستند:

1. ساده شدنی (تحویل پذیر )
2. ساده نشدنی (تحویل ناپذیر)

کسر های تحویل پذیر یا ساده شدنی مانند 4 =3 ÷12 مشکلی وجود ندارد.

کسر های تحویل ناپذیر: هر کسر که صورت و مخرجش قابل ساده شدن نباشد و به عبارتی نسبت به هم اول نباشند را کسر تحویل ناپذیر می گویند.

پس اگر صورت را بر مخرج تقسیم کنیم یک عدد اعشاری به دست می آید.

•  اعداد اعشاری مختوم ( تحقیقی): اعدادی که ارقام اعشاری آنها متناهی باشد و کسر ساده شده آنها یا کسر ولدشان در مخرج یکی از عامل های 2 یا 5 و یا هر دوی آنها را داشته باشد.

• اعداد اعشاری متناوب ساده : تعداد ارقام اعشاری این کسر ها نامتناهی می باشد و دارای دوره گردش می باشد و اگر کسر ساده باشد یا کسر مولدشان را نگاه کنیم در مخرج عوامل 2 و 5 وجود ندارد.

•  اعداد اعشاری متناوب مرکب: این اعداد اعشاری، هم دارای دوره گردش است و هم بدون دوره گردش و بعد از ساده شدن کسر مولدشان در مخرج علاوه بر 2 یا 5 عوامل دیگری هم دارد.

اعداد گنگ: اعدادی هستند که نمی توان آنها را به صورت نماد اعشاری تحقیقی یا متناوب ساده و یا مرکب نوشت.این اعداد گویا نیستند. مثل:

عکس

نتیجه می گیریم: هر عدد گویا را می توان به صورت یک عدد اعشاری مختوم یا متناوب نوشت.

تساوی اعداد گویا

برای بدست آوردن عدد های گویای مساوی با یک عدد گویای مشخص کافی است هم صورت و هم مخرج را در عدد های طبیعی بزرگتر از یک ضرب کنیم:

همچنین می توانیم برای ساده کردن یک عدد گویا، هم صورت و هم مخرج آن را بر یک عدد طبیعی بزرگتر از یک تقسیم کنیم:

نکته: اگر صورت و مخرج کسر را در عددی غیر صفر ضرب کنیم مجموع و تفاضل صورت و مخرج کسر هم در همان عدد ضرب می شود.

حرکت روی محور

عدد حرکت به صفر وابسته نیست و جهت آن و مقدارش است که مهم می باشد که مانند اعداد صحیح عمل می کنیم.

عددی که در مخرج قرار می گیرد نشان دهنده ی این است که هر وارد، به چند قسمت مساوی تقسیم شده سات و عدد در صورت نشان دهنده تعداد واحد های کوچک است که به اندازه ی آنها حرکت کرده ایم. علامت پشت کسر هم جهت حرکت را نشان می دهند.

محاسبه ی اعداد گویا ( جمع و تفریق )

• مخرج های مساوی: در این حالت صورت ها را با توجه به علامت هایسان جمع و تفریق می کنیم و مخرج مشترک را می نویسیم.

• مخرج ها نامساوی باشند: در این حالت ابتدا مخرج مشترک می گیریم می توانیم این کار را از طریق کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) انجام دهیم.

ضرب و تقسیم اعداد گویا

تعداد منفی ها را می شماریم زوج یود + و فرد بود – علامت جواب خواهد بود هنگام ضرب کسر ها بهتر است تا حد امکان کسر ها را ساده کنیم و بعد صورت در صورت و مخرج در مخرج شود.

تقسیم اعداد گویا

در تقسیم اعداد گویا ابتدا علامت ها را در هم ضرب کرده سپس مراحل پایین را انجام می دهیم.

معکوس اعداد گویا

معکوس یعنی برعکس شده، معکوس یک عدد گویا است. که در جای صورت و مخرج آن عوض شده است.

هر عددی که معکوس می شود علامتش عوض نمی شود. عدد صفر معکوس ندارد، چون تقسیم بر صفر معنا ندارد.

نکات

• اگر یک عدد گویا یا غیر صفر بر خودش تقسیم شود حاصل آن یک می شود.

• اگر یک عدد گویا بر یک تقسیم شود جواب خود عدد می شود.

• اگر یک عدد بر یک عدد گویا تقسیم شود جواب معکوس آن عدد می شود.

• حاصل ضرب هر عدد در وارونش (معکوسش)، برابر یک می باشد.

• اگر عددی بین صفر و یک باشد، معکوس آن عدد از یک بزرگتر می شود.

• اگر عددی بزرگتر از یک باشد معکوس آن عدد کوچکتر از 1 می شود.

• اگر عددی بین صفر و -1 باشد معکوسش آن کوچکتر از -1 می شود.

• اگر عددی کمتر از -1 باشد معکوس بزرگتر از -1 می شود.

• بین هر دو عدد گویا، بی شمار عدد گویا وجود دارد.

• بین دو عدد طبیعی یا دو عدد صحیح هیچ عدد صحیح یا طبیعی وجود ندارد.

برای پیدا کردن کسری بین دو کسر روش های زیر را می توان انجام داد.

1- هم مخرج کردن کسر ها

2- میانگین گرفتن بین دو کسر

در این روش دو کسر را با هم جمع می کنیم و بر 2 تقسیم می کنیم عدد به دست آمده درست وسط این دو عدد قرار خواهد داشت.

3- جمع کردن

برای مشخص کردن کسر های بیشتر بین دو کسر دلخواه می توانیم صورت ها را جمع کرده و مخرج ها را نیر جمع کنیم.